Apostila de Estudo: Fenômenos de Propagação de Ondas

Introdução

A propagação de ondas eletromagnéticas é um fenômeno fundamental na física e engenharia de telecomunicações, especialmente relevante para radioamadorismo, comunicações por satélite e sistemas de transmissão[1]. Este material aborda os conceitos técnicos essenciais sobre os fenômenos que ocorrem durante a propagação de ondas: polarização, ondas estacionárias, interferências, superposição e ressonância[2]. O entendimento desses fenômenos é crucial para otimizar sistemas de comunicação, projetar antenas eficientes e diagnosticar problemas em enlaces de RF.

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1. Polarização de Ondas Eletromagnéticas

1.1 Conceitos Fundamentais de Polarização

A polarização descreve a orientação e o comportamento do vetor campo elétrico (E) de uma onda eletromagnética conforme ela se propaga através do espaço[1]. Para uma onda harmônica, o campo elétrico pode ser descrito como:

E(z,t)=E0sin⁡(t−kz+)nˆ

onde:

• E0 = amplitude do campo elétrico
• = frequência angular
• k = número de onda
• = fase inicial
• nˆ = vetor unitário de polarização

1.2 Polarização Linear

A polarização linear ocorre quando o vetor campo elétrico oscila em um plano fixo durante toda a propagação.

Tipos de Polarização Linear:

1. Polarização Linear Horizontal: Campo E paralelo ao solo
   • Comum em radiodifusão AM
   • Melhor propagação por ondas ionosféricas (DX em rádio amador)
   • Maior atenuação em propagação por ondas de terra
2. Polarização Linear Vertical: Campo E perpendicular ao solo
   • Padrão em comunicações móveis e repetidoras
   • Melhor propagação por ondas de terra
   • Mais imune a reflexões multi-percurso em ambientes urbanos
3. Polarização Linear Oblíqua: Campo E em ângulo arbitrário
   • Menos comum, usada em aplicações especializadas

Representação Matemática:

Para uma onda linearmente polarizada na direção y:

E(z,t)=E0ysin⁡(t−kz)yˆ

Ortogonalidade de Polarizações:

Duas polarizações lineares são ortogonais quando seus vetores de polarização são perpendiculares entre si. Uma antena receptora com polarização horizontal teoricamente não recebe sinais com polarização vertical:

Perda de Polarização=20log10⁡(cos⁡) dB

onde é o ângulo entre as polarizações.

Exemplos Práticos:

• Desalinhamento 30°: Perda = 20 log(0.866) = -1.25 dB
• Desalinhamento 45°: Perda = 20 log(0.707) = -3.01 dB
• Desalinhamento 90°: Perda = 20 log(0) = -∞ dB (nenhuma recepção)

1.3 Polarização Circular

A polarização circular ocorre quando o vetor campo elétrico rotaciona em círculo mantendo magnitude constante conforme a onda avança[1].

Condições para Polarização Circular:

1. Campo E deve ter duas componentes ortogonais
2. Componentes devem estar defasadas em 90°
3. Componentes devem ter amplitudes iguais

Representação Matemática:

E(z,t)=E0[cos⁡(t−kz)xˆ+sin⁡(t−kz)yˆ]

Tipos de Polarização Circular:

1. Circular Dextrógira (RCP – Right-Hand Circular): Rotação no sentido horário quando observada na direção de propagação
   • Padrão em comunicações por satélite
   • Menos sensível a rotações de antena
   • Usada em GPS
2. Circular Levógira (LCP – Left-Hand Circular): Rotação no sentido anti-horário
   • Menos comum em aplicações práticas
   • Ortogonal a RCP

Vantagens da Polarização Circular:

• Insensível a rotações relativas entre transmissor e receptor
• Melhor desempenho em comunicações com satélites móveis
• Reduz efeito Faraday em propagação ionosférica
• Menos afetada por reflexões

Desvantagem:

• Perda de 3 dB se receptor usa polarização linear

1.4 Polarização Elíptica

Caso geral onde o vetor E rotaciona formando uma elipse.

Representação Matemática:

E(z,t)=Excos⁡(t−kz)xˆ+Eycos⁡(t−kz+)yˆ

onde é a diferença de fase entre componentes.

Parâmetros Característicos:

• Excentricidade (e): Razão entre eixo menor e maior

e=ba (0 < e ≤ 1)

• Ângulo de Rotação (χ): Ângulo da elipse em relação aos eixos

tan⁡(2)=2ExEycos⁡Ex2−Ey2

Casos Especiais:

• =0° ou 180°: Polarização linear
• =90° e Ex=Ey: Polarização circular
• Outros valores: Polarização elíptica

1.5 Perda por Desalinhamento de Polarização

Quando polarizações não estão alinhadas, há perda de sinal:

Precebida=Ptransmitida2

onde é o coeficiente de correlação de polarização:

=|cos⁡| (para polarizações lineares)

Tabela de Perdas:

Ângulo (°)	Perda (dB)	Fração Recebida
0°	0	100%
15°	-0.3	93%
30°	-1.25	75%
45°	-3.01	50%
60°	-7.23	19%
90°	-∞	0%

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2. Ondas Estacionárias

2.1 Formação de Ondas Estacionárias

Uma onda estacionária é resultante da superposição de duas ondas harmônicas idênticas propagando-se em sentidos opostos[2].

Condições para Formação:

1. Duas ondas com mesma frequência f
2. Mesmo comprimento de onda
3. Amplitudes iguais
4. Propagando em direções opostas
5. Reflexão em uma extremidade fixa

Representação Matemática:

Onda incidente:

y1(z,t)=Asin⁡(t−kz)

Onda refletida:

y2(z,t)=Asin⁡(t+kz+)

Onda estacionária (superposição):

y(z,t)=y1+y2=2Acos⁡(kz+2)sin⁡(t+2)

2.2 Nós e Ventres

Nós (N):

Pontos onde ocorre interferência destrutiva permanente, com amplitude zero:

Anó=0

Nós ocorrem quando:

cos⁡(kz)=0kz=2,32,52,…

znó=4(2n+1), n=0,1,2,…

Ventres (V):

Pontos de máxima amplitude, onde ocorre interferência construtiva:

Aventre=2A

Ventres ocorrem quando:

cos⁡(kz)=1kz=0,,2,…

zventre=2n, n=0,1,2,…

Espaçamento:

• Distância entre nós consecutivos: /2
• Distância entre ventres consecutivos: /2
• Distância nó-ventre adjacente: /4

2.3 Aplicações de Ondas Estacionárias

Em Cordas (Instrumentos Musicais):

Frequências harmônicas:

fn=n2LT=nf1

onde:

• n = número do harmônico
• L = comprimento da corda
• T = tensão
• = densidade linear

Em Tubos (Instrumentos de Vento):

• Tubo aberto: fn=nv2L (n = 1, 2, 3, …)
• Tubo fechado: fn=nv4L (n = 1, 3, 5, …)

Em Guias de Onda (RF/Microondas):

• Formação de modos de propagação
• Determinação de frequência de corte
• Impedância característica variável

Em Linhas de Transmissão:

Razão de Onda Estacionária (SWR):

SWR=VmaxVmin=1+||1−||

onde é coeficiente de reflexão.

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3. Interferência de Ondas

3.1 Princípio da Superposição

O princípio da superposição afirma que quando múltiplas ondas se propagam em um meio, a onda resultante é a soma algébrica das ondas individuais[2]:

ytotal(x,t)=i yi(x,t)=y1+y2+y3+…

Propriedades Importantes:

1. Cada onda continua sua propagação sem modificação
2. A onda resultante é a soma vetorial das amplitudes
3. Válido para sistemas lineares (pequenas amplitudes)

3.2 Interferência Construtiva

Ocorre quando duas ondas estão em fase, suas amplitudes somam-se:

ytotal=y1+y2=(A1+A2)sin⁡(t−kz)

Condição de Fase:

=2n, n=0,1,2,…

 (múltiplo de 2)

Diferença de Caminho:

L=n, n=0,1,2,…

Amplitude Resultante:

Atotal=A1+A2

Intensidade Resultante:

Itotal=I1+I2+2I1I2

Exemplo:

• Duas fontes de 1 W em fase → Intensidade = 4 W (não 2 W!)
• Ganho de potência = 6 dB

3.3 Interferência Destrutiva

Ocorre quando duas ondas estão em oposição de fase (defasadas de 180°):

ytotal=y1+y2=(A1−A2)sin⁡(t−kz)

Condição de Fase:

=(2n+1), n=0,1,2,…

 (múltiplo ímpar de )

Diferença de Caminho:

L=(2n+1)2, n=0,1,2,…

Amplitude Resultante:

Atotal=|A1−A2|

Intensidade Resultante:

Itotal=I1+I2−2I1I2

Caso Especial – Cancelamento Completo:

Se A1=A2:

Itotal=0 (silêncio ou nulo de radiação)

3.4 Interferência Parcial

Defasagem arbitrária entre 0° e 180°:

=1−2=arbitrário

Amplitude Resultante (Lei dos Cossenos):

Atotal=A12+A22+2A1A2cos⁡

Intensidade Resultante:

Itotal=I1+I2+2I1I2cos⁡

Tabela de Interferência:

Δφ (°)	Δφ (rad)	A_total (para A₁=A₂)	Tipo
0°	0	2A	Construtiva máxima
60°	π/3	1.93A	Construtiva
90°	π/2	1.41A	Parcial
120°	2π/3	A	Parcial
180°	π	0	Destrutiva completa

3.5 Padrões de Interferência

Em Duas Dimensões (Tanque de Água):

Duas fontes coerentes criam padrão com franjas alternadas de máximo e mínimo.

Condição de Máximo:

|r2−r1|=n

Condição de Mínimo:

|r2−r1|=(n+12)

onde r1 e r2 são distâncias das fontes.

Aplicação em Antenas:

Arrays de antenas exploram interferência construtiva para concentrar energia:

Etotal=E1+E2+…+EN

Ganho de array:

GarrayN2Gelemento

para espaçamento ótimo (λ/2) e fase correta.

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4. Superposição de Ondas

4.1 Princípio de Superposição em Detalhes

A superposição permite análise de múltiplas ondas através de soma vetorial de suas amplitudes complexas (fasores):

Etotal=i Ei=i Eiej(t−kizi+i)

4.2 Batimento de Ondas

Fenômeno que ocorre quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes se superpõem[2]:

y1=Asin⁡(2f1t)

y2=Asin⁡(2f2t)

Onda Resultante:

ytotal=2Acos⁡(2f1−f22t)sin⁡(2f1+f22t)

Frequência de Batimento:

fbeat=|f1−f2|

Período de Batimento:

Tbeat=1|f1−f2|

Aplicações Práticas:

1. Síntese de frequência: Mistura de duas osciladores próximos
2. Medição de frequência: Uso de oscilador de referência conhecida
3. Controle de frequência: Oscilador controlado por tensão (VCO)

Exemplo Numérico:

• Oscilador 1: 100 MHz
• Oscilador 2: 100.05 MHz
• Frequência de batimento: 50 kHz
• Período de batimento: 20 μs

4.3 Mudança Doppler

Fenômeno onde frequência observada muda devido ao movimento relativo entre fonte e observador[2]:

Aproximação Clássica:

fobs=ffontev+vobsv−vfonte

Para Movimento Radial Simples:

fobs=ffontecvrelc

onde c = velocidade da onda, vrel = velocidade relativa.

Caso: Aproximação (sinal +):

fobs=ffontec+vrelc=ffonte(1+vrelc)

Caso: Afastamento (sinal -):

fobs=ffontec−vrelc=ffonte(1−vrelc)

Mudança de Frequência:

f=ffontevrelc

Aplicações em RF:

1. Comunicações com Satélites: Movimento rápido causa variação de frequência
2. Radar Doppler: Medição de velocidade de objetos
3. Comunicações Móveis: Fade por efeito Doppler
4. Rádio Amador: Tuning contínuo em comunicação com satélites

Exemplo Numérico:

Satélite em 146 MHz passando sobre estação terrestre com velocidade relativa ±8 km/s:

f=14610680003108=3.89 kHz

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5. Ressonância em Ondas

5.1 Fenômeno de Ressonância

Ressonância ocorre quando um sistema é excitado em sua frequência natural, resultando em oscilação com amplitude máxima[2]:

=0=1LC (circuito LC)

Condição de Ressonância:

XL=XCL=1C

f0=12LC

5.2 Fator de Qualidade (Q)

O fator Q descreve a “nitidez” da ressonância e a seletividade:

Q=0LR=10RC=f0f−3dB

onde f−3dB é a largura de banda entre pontos de -3 dB.

Interpretação:

• Alto Q (>100): Ressonância aguda, banda estreita, seletivo
• Médio Q (10-100): Compromisso, banda moderada
• Baixo Q (<10): Ressonância larga, banda larga, pouco seletivo

Energia Armazenada:

Q=2Energia Máxima ArmazenadaEnergia Dissipada por Ciclo

5.3 Ressonância em Circuitos RLC

Circuito Série RLC:

Impedância total:

Z=R+j(XL−XC)=R+j(L−1C)

Na ressonância (f=f0):

Z=R (impedância mínima)

Corrente:

I=VZ

Na ressonância:

Imax=VR

Fator de Qualidade (Série):

Q=0LR=1RLC

Banda Passante (-3dB):

f=f0Q

Circuito Paralelo RLC:

Impedância total:

Z=11/R+j(1/XL−1/XC)

Na ressonância:

Zmax=R

Admitância mínima.

5.4 Ressonância em Antenas

Antena Dipolo:

Ressonância primeira (λ/2):

f0=c2L=c

Impedância de ressonância:

Za73+j43 Ω

 (próximo a 75 Ω)

Largura de Banda:

Para SWR < 2:

BWf0Q100%

Típico: 3-5% para dipolos simples.

Frequências Ressonantes Adicionais:

• 2ª ressonância (λ): f2=2f0, impedância complexa
• 3ª ressonância (3λ/2): f3=3f0, etc.

5.5 Ressonância em Guias de Onda

Cavidade Ressonante:

Frequência de ressonância:

fmnp=c2(ma)2+(nb)2+(pd)2

onde a,b,d são dimensões internas, m,n,p são números de modo.

Fator Q de Cavidade:

Q=0WPdissipada

Típico: Q = 1000-10000 para cavidades de cobre.

Aplicações:

• Filtros de alta seletividade
• Osciladores estáveis
• Cavidades de acelerador (Linac)

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6. Fenômenos Combinados e Aplicações Práticas

6.1 Multicaminho (Multipath Propagation)

Sinal chega ao receptor por múltiplos caminhos devido a reflexões:

Componentes:

1. Onda Direta: Sem obstáculos (Line of Sight – LOS)
2. Ondas Refletidas: Em solo, edifícios, objetos metálicos
3. Ondas Difratadas: Contorno de obstáculos
4. Ondas Espalhadas: Rugosidade de superfícies

Interferência:

Ondas com diferentes atrasos combinam-se (superposição):

r(t)=a0ej0+i aiej(i+2fi)

onde i é atraso relativo do caminho i.

Fading Rápido:

Quando componentes multicaminho chegam com diferenças de fase aleatórias:

• Construção: Sinal forte
• Destruição: Sinal fraco (~20-30 dB variação)
• Fade abrupto: Caused by destructive interference

6.2 Cancelamento de Antena (Antenna Null)

Constelação específica de radiadores cria direção de nulidade:

Etotal=i Ei=0

Array Linear de Dois Elementos:

Nulo ocorre quando:

=+2n

dsin⁡+excitação=

onde d é espaçamento e é ângulo.

Aplicações:

• Supressão de interferentes
• RDF (Radio Direction Finding)
• Comunicações seguras

6.3 Filtros Acústicos e Refletores

Princípio baseado em ondas estacionárias:

Silenciador de Marcha (Muffler):

• Câmaras com volumes ressonantes
• Destruição de frequência específica
• Transmissão de outras frequências

Absorvedores Sonoros:

• Espuma porosa: Dissipa por fricção
• Painel ressonante: Cancelamento de fase

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7. Exercícios Práticos Resolvidos

7.1 Cálculo de Perda por Desalinhamento de Polarização

Enunciado:

Uma estação transmissora usando polarização linear vertical emite 100 W de potência. Uma estação receptora com antena em polarização linear horizontal está no mesmo local. Qual é a potência recebida considerando:
a) Desalinhamento de 0° (teórico)
b) Desalinhamento de 45°
c) Desalinhamento de 90°

Solução:

a) Alinhamento perfeito (0°):

Precebida=Ptransmitidacos2⁡(0°)=1001=100 W

Atenuação = 0 dB

b) Desalinhamento 45°:

Precebida=100cos2⁡(45°)=100(12)2=1000.5=50 W

Atenuação = 10log10⁡(0.5)=−3.01 dB

c) Desalinhamento 90° (ortogonal):

Precebida=100cos2⁡(90°)=1000=0 W

Atenuação = − dB (nenhuma recepção)

7.2 Ondas Estacionárias em Linha de Transmissão

Enunciado:

Uma linha de transmissão de 50 Ω com comprimento de 1 metro é terminada em circuito aberto. A frequência de operação é 300 MHz.

Calcular:
a) Comprimento de onda
b) Posição dos nós e ventres de tensão
c) Razão de Onda Estacionária (SWR)

Solução:

a) Comprimento de onda:

=cf=3108300106=1 metro

b) Posição de Nós e Ventres:

Em circuito aberto (reflexão com fase 0°):

• Ventres de tensão (V) em: z=0,2,,… → 0 m e 0.5 m
• Nós de tensão (N) em: z=4,34,… → 0.25 m e 0.75 m

c) SWR:

Circuito aberto: =+1 (reflexão total)

SWR=1+||1−||=1+11−1= (infinito)

7.3 Batimento de Frequência em VCO

Enunciado:

Dois osciladores são usados para síntese de frequência:

• Oscilador de Referência: 10 MHz (cristal estável)
• VCO (Oscilador Controlado por Tensão): Sintonizável 10-15 MHz

Qual deve ser a frequência do VCO para produzir uma frequência de batimento de 455 kHz?

Solução:

Frequência de batimento:

fbeat=|fVCO−fref|=455 kHz

Opção 1 – VCO abaixo da referência:

fVCO=fref−fbeat=10−0.455=9.545 MHz

Opção 2 – VCO acima da referência:

fVCO=fref+fbeat=10+0.455=10.455 MHz

Resposta: O VCO deve estar sintonizado em 9.545 MHz ou 10.455 MHz.

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8. Tabela de Referência Rápida

Conceito	Equação	Observação
Polarização Linear	E=E0sin⁡(t−kz)	Campo em plano fixo
Polarização Circular	Ex=Ey, =90°	Rotação constante
Perda Polarização	P=P0cos2⁡ dB	Desalinhamento θ
Onda Estacionária	y=2Acos⁡(kz)sin⁡(t)	Superposição oposta
Posição Nós	z=4(2n+1)	Amplitude nula
Posição Ventres	z=2n	Amplitude máxima
Interferência Construtiva	L=n	Fase = 0°
Interferência Destrutiva	L=(n+12)	Fase = 180°
Amplitude Superposição	A=A12+A22+2A1A2cos⁡	Lei cossenos
Batimento	fbeat=|f1−f2|	Frequência envelope
Efeito Doppler	fobs=fs(1+vrelc)	Aproximação
Frequência Ressonância	f0=12LC	Circuito LC
Fator Q	Q=f0f−3dB	Seletividade
SWR	SWR=1+||1−||	Reflexão linha

Table 1: Resumo de fórmulas para fenômenos de propagação

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9. Conclusão

Os fenômenos de propagação de ondas – polarização, ondas estacionárias, interferência, superposição e ressonância – são fundamentais para compreender o comportamento de sistemas eletromagnéticos[1][2]. O domínio desses conceitos permite:

• Projeto otimizado de antenas e sistemas de transmissão
• Diagnóstico de problemas em enlaces de RF
• Maximização de eficiência energética
• Comunicações com qualidade superior
• Inovação em tecnologias de rádio amador e telecomunicações

A aplicação prática desses conceitos através de cálculos e medições é essencial para qualquer profissional ou entusiasta de radiocomunicações.

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Referências

[1] RF-MISO. (2023). O que é Polarização de Antena e por que é importante. Disponível em: https://pt.rf-miso.com/news/antenna-polarization-what-is-antenna-polarization-and-why-its-important/

[2] Casa das Ciências. (2023). Ondas Eletromagnéticas. Wikiciências. Disponível em: https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Ondas_eletromagnéticas

[3] ProEnem. (2023). Fenômenos Ondulatórios. Disponível em: https://enem.proenem.com.br/fisica/fenomenos-ondulatorios/

[4] Cultura Livre. (2019). Ondas Estacionárias: Reflexão, Interferência e Ressonância. Disponível em: https://culturalivre.com/ondas_estacionarias_reflexao_interferencia_ressonancia/

[5] CESAD/UFS. (2012). Interferência, Ondas Estacionárias e Ressonância em Sistemas Ondulatórios. Disponível em: https://cesad.ufs.br/ORBI/

[6] UNOPR. (2024). Introdução ao Espectro Eletromagnético e de Rádio. Disponível em: https://unopr.com.br/

[7] De Castro, M. C. F. (2017). Propagação Radioelétrica. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE).

[8] Hecht, E. (2016). Optics (5th ed.). Pearson Education.

[9] Griffiths, D. J. (2013). Introduction to Electrodynamics (4th ed.). Pearson.

[10] ARRL. (2023). The ARRL Handbook for Radio Communications. American Radio Relay League.