Apostila de Estudo: Associação de Resistores – Cálculos em Série e Paralelo
Introdução
A associação de resistores é um dos conceitos fundamentais na eletrônica e engenharia elétrica. Em circuitos práticos, dificilmente encontramos uma aplicação com um único resistor. Geralmente, múltiplos resistores são conectados em diversas configurações para alcançar uma resistência equivalente desejada ou para realizar funções específicas no circuito[1]. Esta apostila apresenta um guia completo sobre como calcular a resistência equivalente em associações série, paralelo e mista, bem como as propriedades e aplicações práticas de cada tipo[1].
1. Conceitos Fundamentais
1.1 Resistência Equivalente
A resistência equivalente (também chamada de resistência total ou resultante) é a resistência única que, se substituída por todos os resistores associados, produziria o mesmo efeito no circuito[1]. É o valor de resistência que representa o comportamento de toda a associação de resistores.
1.2 Tipos de Associação de Resistores
Existem três configurações principais para associar resistores:
- Associação em Série: Os resistores são conectados um após o outro, formando um único caminho para a corrente.
- Associação em Paralelo: Os resistores são conectados de forma que todos têm os mesmos dois pontos de contato (nós), permitindo múltiplos caminhos para a corrente.
- Associação Mista (Série-Paralelo): Uma combinação de resistores em série e em paralelo no mesmo circuito[1].
1.3 Propriedades Gerais
Na Associação em Série:
- A corrente é a mesma em todos os resistores
- A tensão total é dividida entre os resistores
- A resistência equivalente é maior que o maior resistor da associação
Na Associação em Paralelo:
- A tensão é a mesma em todos os resistores
- A corrente total é dividida entre os resistores
- A resistência equivalente é menor que o menor resistor da associação[1]
2. Associação em Série
2.1 Características da Associação em Série
Na associação em série, os resistores são conectados de forma que há apenas um caminho para a corrente elétrica percorrer[1]. A corrente sai da fonte, passa pelo primeiro resistor, depois pelo segundo, e assim sucessivamente, até retornar à fonte.
Propriedades principais:
- Corrente: A mesma em todos os resistores (I₁ = I₂ = I₃ = … = I)
- Tensão: Dividida entre os resistores (V = V₁ + V₂ + V₃ + …)
- Resistência equivalente: Soma de todas as resistências (Req = R₁ + R₂ + R₃ + …)
2.2 Fórmula da Resistência Equivalente em Série
Para uma associação de resistores em série, a resistência equivalente é simplesmente a soma algébrica de todas as resistências:
Req=R1+R2+R3++Rn
Onde:
- Req = Resistência equivalente (Ω)
- R₁, R₂, R₃, …, Rn = Resistências individuais (Ω)
- n = Número de resistores
Conclusão importante: A resistência equivalente de uma associação em série é sempre maior que a maior resistência individual[1].
2.3 Análise de Circuito em Série
Para analisar um circuito em série completo, você deve:
- Calcular a resistência equivalente usando a fórmula acima
- Aplicar a Lei de Ohm para encontrar a corrente total: I=VtotalReq
- Calcular a queda de tensão em cada resistor: Vi=IRi
- Verificar: A soma das quedas de tensão deve igualar a tensão total
2.4 Divisor de Tensão
Uma propriedade importante de circuitos em série é o divisor de tensão. A tensão em cada resistor é proporcional ao seu valor:
Vi=VtotalRiReq
Onde:
- Vi = Tensão no resistor i (V)
- Vtotal = Tensão total aplicada ao circuito (V)
- Ri = Resistência do resistor i (Ω)
- Req = Resistência equivalente total (Ω)
2.5 Exemplos Práticos de Série
Exemplo 1: Três resistores em série
Considere um circuito com:
- R₁ = 10 Ω
- R₂ = 20 Ω
- R₃ = 30 Ω
- Vtotal = 120 V
Calcule: a) Req, b) I, c) V₁, V₂, V₃
Resolução:
a) Resistência equivalente:
Req=R1+R2+R3=10+20+30=60 Ω
b) Corrente total (aplicando Lei de Ohm):
I=VtotalReq=12060=2 A
c) Quedas de tensão:
V1=IR1=210=20 V
V2=IR2=220=40 V
V3=IR3=230=60 V
Verificação: V₁ + V₂ + V₃ = 20 + 40 + 60 = 120 V ✓
Exemplo 2: Divisor de tensão
Suponha que você necessite de 40 V em um ponto intermediário de um circuito série. Você tem uma fonte de 100 V e dois resistores: R₁ = 20 Ω e R₂ = 30 Ω. Qual é a tensão no terminal entre eles?
Resolução:
Primeiro, calcule a corrente total:
Req=20+30=50 Ω
I=10050=2 A
A tensão após R₁ (que é a mesma antes de R₂):
V1=220=40 V
O resultado corresponde ao esperado!
3. Associação em Paralelo
3.1 Características da Associação em Paralelo
Na associação em paralelo, todos os resistores são conectados entre os mesmos dois nós (pontos) do circuito[1]. Isso significa que a corrente tem múltiplos caminhos para fluir, e cada resistor está submetido à mesma tensão.
Propriedades principais:
- Corrente: Dividida entre os resistores (I = I₁ + I₂ + I₃ + …)
- Tensão: Mesma em todos os resistores (V₁ = V₂ = V₃ = … = V)
- Resistência equivalente: Calculada através da soma das condutâncias ou fórmulas específicas (Req < menor resistência)
3.2 Conceito de Condutância
A condutância (G) é o inverso da resistência e sua unidade é o siemens (S) ou mho (℧):
G=1R
Em paralelo, as condutâncias se somam, assim como as resistências em série:
Geq=G1+G2+G3++Gn
3.3 Fórmula Geral para Resistência Equivalente em Paralelo
A fórmula geral para calcular a resistência equivalente de uma associação em paralelo é:
1Req=1R1+1R2+1R3++1Rn
Ou inversamente:
Req=11R1+1R2+1R3++1Rn
Onde:
- Req = Resistência equivalente (Ω)
- R₁, R₂, R₃, …, Rn = Resistências individuais (Ω)
Conclusão importante: A resistência equivalente de uma associação em paralelo é sempre menor que a menor resistência individual[1].
3.4 Casos Particulares em Paralelo
Caso 1: Dois Resistores Diferentes em Paralelo
Para apenas dois resistores em paralelo, usa-se a fórmula simplificada:
Req=R1R2R1+R2
Isto é, o produto dividido pela soma[1].
Caso 2: N Resistores Iguais em Paralelo
Quando todos os resistores possuem o mesmo valor R, a resistência equivalente é:
Req=Rn
Onde n é o número de resistores[1].
Caso 3: Condutância em Paralelo
Usando condutância diretamente:
Geq=G1+G2+G3++Gn
Req=1Geq
3.5 Divisor de Corrente
Em um circuito paralelo, a corrente se divide entre os resistores. A corrente em cada ramo é inversamente proporcional à sua resistência:
Ii=ItotalReqRi
Ou, usando a Lei de Ohm direto (pois todos têm mesma tensão):
Ii=VRi
A corrente total é a soma de todas as correntes individuais:
Itotal=I1+I2+I3++In
3.6 Exemplos Práticos de Paralelo
Exemplo 3: Três resistores diferentes em paralelo
Considere um circuito com:
- R₁ = 6 Ω
- R₂ = 12 Ω
- R₃ = 4 Ω
- Vtotal = 12 V
Calcule: a) Req, b) Itotal, c) I₁, I₂, I₃
Resolução:
a) Resistência equivalente:
1Req=16+112+14=212+112+312=612=12
Req=2 Ω
b) Corrente total:
Itotal=VReq=122=6 A
c) Correntes em cada ramo:
I1=VR1=126=2 A
I2=VR2=1212=1 A
I3=VR3=124=3 A
Verificação: I₁ + I₂ + I₃ = 2 + 1 + 3 = 6 A = Itotal ✓
Exemplo 4: Dois resistores em paralelo (fórmula simplificada)
Resistores de 20 Ω e 30 Ω em paralelo:
Req=203020+30=60050=12 Ω
Exemplo 5: Resistores iguais em paralelo
Três resistores de 30 Ω cada em paralelo:
Req=Rn=303=10 Ω
4. Associação Mista (Série-Paralelo)
4.1 Características da Associação Mista
Uma associação mista é um circuito que contém tanto resistores em série quanto em paralelo[1]. Não é uma configuração diferente, mas sim uma combinação das duas formas básicas.
A análise de circuitos mistos requer trabalhar em etapas, reduzindo progressivamente o circuito até obter uma única resistência equivalente.
4.2 Estratégia de Análise
Para resolver um circuito série-paralelo:
Passo 1: Identifique claramente quais resistores estão em paralelo e quais estão em série.
Passo 2: Comece pelo “fundo” do circuito: calcule a resistência equivalente dos resistores em paralelo mais internos.
Passo 3: Substitua esse grupo por sua resistência equivalente.
Passo 4: Verifique se agora você tem resistores em série. Se sim, some-os.
Passo 5: Repita até reduzir o circuito a uma única resistência equivalente.
Passo 6: Aplique a Lei de Ohm para encontrar a corrente total.
Passo 7: Trabalhe “de trás para frente” para encontrar tensões e correntes em cada ramo.
4.3 Exemplo Prático de Circuito Misto – Tipo 1
Considere o circuito abaixo:
- R₁ = 10 Ω em série com
- Um grupo em paralelo formado por:
- R₂ = 20 Ω em paralelo com
- R₃ = 20 Ω
- Vtotal = 60 V
Calcule: a) Req total, b) I total, c) V₁, V₂₋₃ (tensão no grupo paralelo), d) I₂, I₃
Resolução:
a) Calcule primeiro a resistência equivalente do grupo paralelo:
Como R₂ = R₃ = 20 Ω (iguais), use:
R2,3=Rn=202=10 Ω
Agora o circuito ficou simples: R₁ em série com R₂₋₃
Req=R1+R2,3=10+10=20 Ω
b) Corrente total:
Itotal=VtotalReq=6020=3 A
c) Quedas de tensão:
Como R₁ está em série com o grupo paralelo, a mesma corrente de 3 A passa por R₁:
V1=ItotalR1=310=30 V
A tensão no grupo paralelo (R₂₋₃):
V2,3=Vtotal−V1=60−30=30 V
d) Correntes nos ramos paralelos:
Como R₂ = R₃ e estão em paralelo com mesma tensão (30 V):
I2=V2,3R2=3020=1,5 A
I3=V2,3R3=3020=1,5 A
Verificação: I₂ + I₃ = 1,5 + 1,5 = 3 A = Itotal ✓
4.4 Exemplo Prático de Circuito Misto – Tipo 2
Considere um circuito mais complexo:
- Um grupo em paralelo (esquerda):
- R₁ = 12 Ω em paralelo com
- R₂ = 12 Ω
- Em série com outro grupo em paralelo (direita):
- R₃ = 6 Ω em paralelo com
- R₄ = 3 Ω
- Vtotal = 24 V
Calcule: a) Req total, b) I total, c) Tensão em cada grupo
Resolução:
a) Resistência equivalente do primeiro grupo (R₁ || R₂):
R1,2=122=6 Ω
Resistência equivalente do segundo grupo (R₃ || R₄):
1R3,4=16+13=16+26=36=12
R3,4=2 Ω
Resistência total (grupos em série):
Req=R1,2+R3,4=6+2=8 Ω
b) Corrente total:
Itotal=VtotalReq=248=3 A
c) Tensões nos grupos:
V1,2=ItotalR1,2=36=18 V
V3,4=ItotalR3,4=32=6 V
Verificação: V₁₋₂ + V₃₋₄ = 18 + 6 = 24 V ✓
5. Tabela Comparativa de Associações
| Aspecto | Série | Paralelo | Mista |
| Caminho para corrente | Um único | Múltiplos | Múltiplos |
| Corrente | Mesma em todos | Dividida | Dividida/Mesma |
| Tensão | Dividida | Mesma em todos | Dividida/Mesma |
| Req vs componentes | Req > maior R | Req < menor R | Intermediário |
| Fórmula Req | Soma | Soma de inversos | Combinação |
| Falha de um resistor | Circuito abre | Outros continuam | Parcial |
| Aplicação | Proteção/Limite I | Divisão de corrente | Circuitos práticos |
Table 1: Comparação entre os três tipos de associação de resistores
6. Condutância e Sua Aplicação Prática
6.1 Definição de Condutância
A condutância é uma grandeza que expressa a facilidade com que a corrente flui através de um material. É o inverso da resistência:
G=1R
Onde:
- G = Condutância (siemens – S ou mho – ℧)
- R = Resistência (Ω)
6.2 Lei de Ohm em Termos de Condutância
A Lei de Ohm pode ser reescrita usando condutância:
I=VG
Ou seja, a corrente é diretamente proporcional à condutância (tensão × facilidade de passagem).
6.3 Condutância em Paralelo
Em paralelo, as condutâncias se somam (analogamente às resistências em série):
Geq=G1+G2+G3++Gn
Depois, converte-se de volta para resistência:
Req=1Geq
6.4 Exemplo com Condutância
Três resistores de 10 Ω, 20 Ω e 30 Ω em paralelo. Calcule Req usando condutância.
Resolução:
Calcule as condutâncias:
G1=110=0,1 S
G2=120=0,05 S
G3=1300,0333 S
Soma das condutâncias:
Geq=0,1+0,05+0,0333=0,1833 S
Resistência equivalente:
Req=10,18335,45 Ω
7. Propriedades Importantes das Associações
7.1 Propriedades da Série
- A resistência equivalente é sempre maior que o maior resistor
- Se um resistor queimar (circuito aberto), todo o circuito para de funcionar
- A corrente é a mesma em todos os pontos
- A soma das quedas de tensão iguala a tensão total
- Usado para limitar corrente ou dividir tensão
7.2 Propriedades do Paralelo
- A resistência equivalente é sempre menor que o menor resistor
- Se um resistor queimar, os outros continuam funcionando
- A tensão é a mesma em todos os pontos
- A soma das correntes iguala a corrente total
- Usado para aumentar capacidade de corrente ou dividir corrente
7.3 Propriedades da Mista
- Combina as propriedades da série e do paralelo
- Requer análise em etapas
- É a configuração mais comum em circuitos práticos
- Permite flexibilidade de projeto
8. Aplicações Práticas
8.1 Aplicações em Série
Divisor de Tensão: Obter tensões específicas a partir de uma fonte maior
Proteção: Usar resistor em série para limitar corrente máxima
Controle de Brilho: Resistores em série com lâmpadas
Sensores Analógicos: Condicionamento de sinal com divisores de tensão[1]
8.2 Aplicações em Paralelo
Aumento de Capacidade: Vários resistores em paralelo para dissipar mais potência
Seleção de Resistência: Obter valores de resistência não comerciais
Divisor de Corrente: Distribuir corrente entre múltiplos caminhos
Circuitos de Proteção: Múltiplos fusíveis em paralelo (cada um protegendo um ramo)
8.3 Aplicações Mistas
Circuitos de Amplificação: Combinações de resistores para polarização e ganho
Circuitos de Filtragem: Resistores em combinações série-paralelo para filtros RC
Equipamentos Eletrônicos: A maioria dos circuitos eletrônicos reais usa associações mistas[1]
9. Exercícios Propostos
Exercício 1: Série – Básico
Um circuito em série possui:
- R₁ = 100 Ω
- R₂ = 150 Ω
- R₃ = 250 Ω
- Vtotal = 100 V
Calcule:
a) Resistência equivalente
b) Corrente total
c) Tensão em cada resistor
Exercício 2: Série – Divisor de Tensão
Você tem uma fonte de 90 V e precisa obter 30 V em um ponto intermediário usando dois resistores em série. Se R₁ = 10 Ω, qual deve ser R₂?
Exercício 3: Paralelo – Três Resistores
Um circuito paralelo possui:
- R₁ = 8 Ω
- R₂ = 12 Ω
- R₃ = 24 Ω
- Vtotal = 24 V
Calcule:
a) Resistência equivalente
b) Corrente total
c) Corrente em cada ramo
Exercício 4: Paralelo – Dois Resistores
Dois resistores de 30 Ω e 60 Ω estão em paralelo com uma fonte de 120 V. Calcule:
a) Resistência equivalente
b) Corrente total
c) Correntes individuais
Exercício 5: Paralelo – Resistores Iguais
Cinco resistores de 100 Ω cada estão em paralelo. Qual é a resistência equivalente?
Exercício 6: Mista – Tipo 1
Um circuito possui:
- R₁ = 10 Ω em série com
- R₂ = 20 Ω em paralelo com R₃ = 20 Ω
- Vtotal = 120 V
Calcule:
a) Resistência equivalente total
b) Corrente total
c) Tensão em R₁ e no grupo paralelo
d) Correntes em R₂ e R₃
Exercício 7: Mista – Tipo 2
Um circuito possui:
- Um grupo paralelo (R₁ = 6 Ω || R₂ = 3 Ω) em série com
- R₃ = 2 Ω em série com
- Um segundo grupo paralelo (R₄ = 12 Ω || R₅ = 4 Ω)
- Vtotal = 36 V
Calcule:
a) Resistência equivalente total
b) Corrente total
c) Tensão em cada grupo
Exercício 8: Análise Completa
Um circuito série-paralelo complexo possui:
- R₁ = 5 Ω em série com
- (R₂ = 10 Ω em paralelo com R₃ = 10 Ω) em série com
- R₄ = 5 Ω
- Vtotal = 50 V
Calcule:
a) Resistência em cada etapa
b) Corrente total
c) Todos os valores de tensão e corrente
Exercício 9: Condutância
Três resistores de 6 Ω, 12 Ω e 18 Ω estão em paralelo. Use o método de condutância para calcular a resistência equivalente.
Exercício 10: Problema Prático
Você precisa disseminar 3 A através de dois resistores iguais em paralelo. Qual é a corrente em cada um? Se eles estão submetidos a 24 V, qual é o valor de cada resistor?
10. Gabarito dos Exercícios
Exercício 1: Série – Básico
a) Req = 100 + 150 + 250 = 500 Ω
b) I = 100/500 = 0,2 A
c) V₁ = 0,2 × 100 = 20 V
V₂ = 0,2 × 150 = 30 V
V₃ = 0,2 × 250 = 50 V
Exercício 2: Série – Divisor de Tensão
Usando V₁ = Vtotal × (R₁ / Req) e sabendo que V₁ = 30 V:
30 = 90 × (10 / Req)
Req = 30 Ω
R₂ = 30 – 10 = 20 Ω
Exercício 3: Paralelo – Três Resistores
a) 1/Req = 1/8 + 1/12 + 1/24 = 3/24 + 2/24 + 1/24 = 6/24 = 1/4
Req = 4 Ω
b) I = 24/4 = 6 A
c) I₁ = 24/8 = 3 A
I₂ = 24/12 = 2 A
I₃ = 24/24 = 1 A
Exercício 4: Paralelo – Dois Resistores
a) Req = (30 × 60)/(30 + 60) = 1800/90 = 20 Ω
b) I = 120/20 = 6 A
c) I₁ = 120/30 = 4 A
I₂ = 120/60 = 2 A
Exercício 5: Paralelo – Resistores Iguais
Req = R/n = 100/5 = 20 Ω
Exercício 6: Mista – Tipo 1
a) R₂₋₃ = 20/2 = 10 Ω
Req = 10 + 10 = 20 Ω
b) I = 120/20 = 6 A
c) V₁ = 6 × 10 = 60 V
V₂₋₃ = 120 – 60 = 60 V
d) I₂ = 60/20 = 3 A
I₃ = 60/20 = 3 A
Exercício 7: Mista – Tipo 2
a) R₁₋₂ = (6 × 3)/(6 + 3) = 18/9 = 2 Ω
R₄₋₅ = (12 × 4)/(12 + 4) = 48/16 = 3 Ω
Req = 2 + 2 + 3 = 7 Ω (nota: considerando que há outro resistor em série)
Ajustando: Req = 2 + 2 + 3 = 7 Ω (Verifique circuito específico)
b) I = 36/7 ≈ 5,14 A
c) V₁₋₂ ≈ 10,3 V, V₃ ≈ 10,3 V, V₄₋₅ ≈ 15,4 V
Exercício 8: Análise Completa
a) R₂₋₃ = 10/2 = 5 Ω
Req = 5 + 5 + 5 = 15 Ω
b) I = 50/15 = 3,33 A
c) V₁ = 3,33 × 5 ≈ 16,65 V
V₂₋₃ = 3,33 × 5 ≈ 16,65 V
V₄ = 3,33 × 5 ≈ 16,65 V
I₂ = I₃ ≈ 1,67 A cada
Exercício 9: Condutância
G₁ = 1/6 ≈ 0,167 S
G₂ = 1/12 ≈ 0,083 S
G₃ = 1/18 ≈ 0,056 S
Geq ≈ 0,306 S
Req ≈ 3,27 Ω
Exercício 10: Problema Prático
Se I = 3 A dividida em dois resistores iguais: cada um recebe 1,5 A
R = V/I = 24/1,5 = 16 Ω cada resistor
11. Resumo de Fórmulas
| Fórmula | Aplicação |
| Req=R1+R2+…+Rn | Série |
| V=V1+V2+…+Vn | Série – Tensões |
| I=I1=I2=…=In | Série – Corrente |
| 1Req=1R1+1R2+…+1Rn | Paralelo (geral) |
| Req=R1R2R1+R2 | Paralelo (2 resistores) |
| Req=Rn | Paralelo (n resistores iguais) |
| I=I1+I2+…+In | Paralelo – Corrente |
| V=V1=V2=…=Vn | Paralelo – Tensão |
| G=1R | Condutância |
| Geq=G1+G2+…+Gn | Paralelo por condutância |
| Vi=VtotalRiReq | Divisor de Tensão |
| Ii=ItotalReqRi | Divisor de Corrente |
Table 2: Resumo de fórmulas para associação de resistores
Conclusão
A associação de resistores é um fundamento crítico para qualquer pessoa trabalhando com eletrônica. Compreender as diferenças entre série, paralelo e mista, bem como dominar as fórmulas de cálculo de resistência equivalente, permite analisar e projetar circuitos eficientemente.
Série: Use quando precisar limitar corrente ou dividir tensão
Paralelo: Use quando precisar de menor resistência ou dividir corrente
Mista: A solução prática para a maioria dos circuitos reais[1]
A prática constante com os exercícios propostos consolidará sua compreensão e preparará você para aplicações práticas em radioamadorismo, eletrônica geral e engenharia elétrica.
Referências
[1] MakerHero. Associação de resistores: Como fazer, fórmula e exercícios. Disponível em: https://www.makerhero.com/guia/eletricidade/associacao-de-resistores/
[2] Mundo Educação. Associação de resistores em série. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/propriedades-associacao-resistores-serie.htm
[3] Mundo Educação. Associação de resistores em paralelo. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/associacao-resistores-paralelo.htm
[4] Newton CBraga. Resistores em Paralelo. Disponível em: https://www.newtoncbraga.com.br/matematica-na-eletronica/1969-m091.html
[5] Aprovatotal. Associação de resistores: em série, paralelo e mista. Disponível em: https://aprovatotal.com.br/associacao-resistores/
[6] Professor Petry. Circuito Série-Paralelo – Guia de Estudo. Disponível em: https://www.professorpetry.com.br
[7] Khan Academy. Condutância paralela. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/science/electrical-engineering
