Apostila de Estudo: Teoria de Circuitos CA – Impedância, Reatância, Capacitância e Indutância

Introdução

A análise de circuitos em corrente alternada (CA) é fundamental para compreender o funcionamento de praticamente todos os dispositivos eletrônicos modernos, das transmissões de rádio amador aos sistemas de potência industrial[1]. Enquanto na corrente contínua (CC) trabalhamos apenas com resistência, na corrente alternada surgem novas propriedades: a reatância (capacitiva e indutiva) e a impedância. Esta apostila apresenta um guia completo sobre estes conceitos essenciais para análise e projeto de circuitos CA[1][2].

1. Fundamentos da Corrente Alternada

1.1 O que é Corrente Alternada (CA)?

A corrente alternada é um fluxo de carga elétrica que muda de direção periodicamente, alternando entre positivo e negativo[1]. Diferentemente da corrente contínua, que mantém a mesma direção e magnitude, a CA varia tanto em magnitude quanto em direção.

1.2 Características da CA Senoidal

A forma mais comum de CA é a onda senoidal, que pode ser expressa matematicamente como:

i(t)=Ipicosin⁡(2ft+)

Ou em termos de tensão:

v(t)=Vpicosin⁡(2ft+)

Onde:

• I_pico = Corrente de pico (amplitude máxima)
• V_pico = Tensão de pico (amplitude máxima)
• f = Frequência (Hz)
• t = Tempo (s)
• φ = Ângulo de fase (radianos ou graus)

1.3 Frequência e Período

A frequência (f) indica quantas vezes a onda se repete por segundo, medida em hertz (Hz). O período (T) é o tempo para completar um ciclo:

T=1f

No Brasil e na maioria dos países, a frequência padrão da rede elétrica é 60 Hz (algumas regiões usam 50 Hz)[1].

1.4 Valores de Pico e RMS

Para uma onda senoidal:

• Valor de Pico (V_max ou I_max): A amplitude máxima da onda
• Valor RMS (Root Mean Square): O valor eficaz da onda, que representa o equivalente em CC que produziria a mesma potência dissipada em uma resistência[1]

A relação entre eles é:

VRMS=Vpico20,707Vpico

IRMS=Ipico20,707Ipico

Exemplo: A tensão padrão da rede elétrica nos EUA é 120 V RMS, o que significa que a tensão de pico é:

Vpico=1202170 V

2. Números Complexos em Circuitos CA

2.1 Representação Fasorial

Para análise de circuitos CA, utilizamos números complexos para representar magnitudes e fases simultaneamente. Um fasor é um número complexo que representa uma tensão ou corrente senoidal[1].

A forma retangular é:

Z˙=a+jb

A forma polar é:

Z˙=|Z|

Onde:

• a = Parte real
• b = Parte imaginária
• j = Unidade imaginária (√-1)
• |Z| = Magnitude do número complexo
• θ = Ângulo de fase

2.2 Conversão entre Formas

De retangular para polar:

|Z|=a2+b2

=arctan⁡ba

De polar para retangular:

a=|Z|cos⁡()

b=|Z|sin⁡()

2.3 Operações com Números Complexos

Adição (forma retangular):

(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)

Multiplicação (forma polar):

|Z1|1|Z2|2=|Z1Z2|(1+2)

Divisão (forma polar):

|Z1|1|Z2|2=|Z1||Z2|(1−2)

3. Resistência em Circuitos CA

3.1 Comportamento de Resistores em CA

Um resistor puro em um circuito CA se comporta de forma similar ao circuito CC: a corrente e a tensão estão em fase, ou seja, atingem seus máximos e mínimos simultaneamente[1].

3.2 Lei de Ohm para Circuitos CA

A Lei de Ohm permanece válida, trabalhando com valores RMS:

V=IR

Ou em forma fasorial:

V˙=I˙R

3.3 Resistência em Forma Fasorial

Um resistor puro pode ser representado como:

Z˙R=R+j0=R0°

Onde R é a resistência em ohms, e o ângulo de fase é 0° (tensão e corrente em fase)[1].

4. Capacitância e Reatância Capacitiva

4.1 O Capacitor: Conceito Básico

Um capacitor é um componente que armazena energia em um campo elétrico. Consiste em duas placas condutoras separadas por um material dielétrico[1].

A capacitância é medida em farads (F):

C=QV

Onde:

• Q = Carga armazenada (coulombs – C)
• V = Tensão aplicada (volts – V)

Unidades mais práticas: μF (microfarad) = 10⁻⁶ F, nF (nanofarad) = 10⁻⁹ F, pF (picofarad) = 10⁻¹² F[1]

4.2 Comportamento do Capacitor em CC

Em corrente contínua:

• Inicialmente (transiente), o capacitor atua como um curto-circuito (baixa impedância)
• Em regime permanente, atua como um circuito aberto (impedância infinita)
• Não há corrente contínua através de um capacitor em regime permanente[1]

4.3 Comportamento do Capacitor em CA

Em corrente alternada, o capacitor permite a passagem de corrente continuamente. A corrente que passa através de um capacitor está 90° adiantada em relação à tensão (a corrente atinge seu máximo um quarto de período antes da tensão)[1].

4.4 Reatância Capacitiva (Xc)

A reatância capacitiva é a oposição que um capacitor oferece ao fluxo de corrente alternada[1]:

XC=12fC

Ou equivalentemente:

XC=1C

Onde:

• f = Frequência (Hz)
• C = Capacitância (F)
• ω = Frequência angular = 2πf (rad/s)

Unidade: Ohm (Ω)

Propriedades da Reatância Capacitiva:

• É inversamente proporcional à frequência: quanto maior a frequência, menor a reatância
• É inversamente proporcional à capacitância: quanto maior a capacitância, menor a reatância
• Decresce quando a frequência aumenta, permitindo mais passagem de corrente em altas frequências[1]

4.5 Impedância de um Capacitor

Um capacitor puro pode ser representado em forma fasorial como:

Z˙C=0−jXC=XC−90°

Ou:

Z˙C=−j12fC

O ângulo de -90° indica que a corrente está adiantada (90°) em relação à tensão[1].

4.6 Exemplos com Capacitores

Exemplo 1: Um capacitor de 10 μF é submetido a uma frequência de 60 Hz. Calcule a reatância capacitiva.

Resolução:

XC=12601010−6=120,0006=10,00377265 Ω

---

Exemplo 2: Um capacitor de 1 μF é submetido a frequências de 60 Hz e 1000 Hz. Compare as reatâncias.

A 60 Hz:

XC=1260110−62654 Ω

A 1000 Hz:

XC=121000110−6159 Ω

Observe que em frequência mais alta, a reatância é muito menor.

5. Indutância e Reatância Indutiva

5.1 O Indutor: Conceito Básico

Um indutor (ou bobina) é um componente que armazena energia em um campo magnético. Consiste em um fio enrolado em forma de espiras[2].

A indutância é medida em henry (H):

L=I

Onde:

• Φ = Fluxo magnético (weber – Wb)
• I = Corrente (A)

Unidades mais práticas: mH (milihenry) = 10⁻³ H, μH (microhenry) = 10⁻⁶ H[2]

5.2 Comportamento do Indutor em CC

Em corrente contínua:

• O indutor atua como um curto-circuito (baixa impedância, apenas a resistência do fio)
• Não há reatância indutiva em CC, pois não há variação de corrente (df/dt = 0)[2]
• A corrente pode fluir livremente através do indutor

5.3 Comportamento do Indutor em CA

Em corrente alternada, o indutor oferece oposição ao fluxo de corrente que varia. A corrente que passa através de um indutor está 90° atrasada em relação à tensão (a tensão atinge seu máximo um quarto de período antes da corrente)[2].

5.4 Reatância Indutiva (XL)

A reatância indutiva é a oposição que um indutor oferece ao fluxo de corrente alternada[2]:

XL=2fL=L

Onde:

• f = Frequência (Hz)
• L = Indutância (H)
• ω = Frequência angular = 2πf (rad/s)

Unidade: Ohm (Ω)

Propriedades da Reatância Indutiva:

• É diretamente proporcional à frequência: quanto maior a frequência, maior a reatância
• É diretamente proporcional à indutância: quanto maior a indutância, maior a reatância
• Cresce quando a frequência aumenta, dificultando mais a passagem de corrente em altas frequências[2]

5.5 Impedância de um Indutor

Um indutor puro pode ser representado em forma fasorial como:

Z˙L=0+jXL=XL90°

Ou:

Z˙L=j2fL

O ângulo de +90° indica que a tensão está adiantada (90°) em relação à corrente[2].

5.6 Exemplos com Indutores

Exemplo 3: Uma bobina com indutância de 100 mH é submetida a uma frequência de 60 Hz. Calcule a reatância indutiva.

Resolução:

XL=2600,1=2637,7 Ω

---

Exemplo 4: Uma bobina de 10 mH é submetida a frequências de 60 Hz e 1000 Hz. Compare as reatâncias.

A 60 Hz:

XL=2600,013,77 Ω

A 1000 Hz:

XL=210000,0162,8 Ω

Observe que em frequência mais alta, a reatância é muito maior.

6. Impedância

6.1 Definição de Impedância

A impedância é a oposição total que um circuito oferece ao fluxo de corrente alternada. É uma grandeza complexa que combina resistência e reatância[1][2].

A impedância é medida em ohms (Ω) e é representada pelo símbolo Z.

6.2 Impedância em Forma Retangular

Z˙=R+jX=R+j(XL−XC)

Onde:

• R = Resistência (Ω)
• X = Reatância total (Ω)
• X_L = Reatância indutiva (Ω)
• X_C = Reatância capacitiva (Ω)

6.3 Impedância em Forma Polar

Z˙=|Z|

Onde:

|Z|=R2+X2

=arctan⁡XR

|Z| é o módulo da impedância (sempre positivo) e φ é o ângulo de fase[1][2].

6.4 Diagrama de Impedância

Um diagrama útil é o diagrama de impedância, também chamado triângulo de impedância:

Figure 1: Triângulo de impedância: representação visual da relação entre R, X e Z

O triângulo mostra que:

• A horizontal representa a resistência R
• A vertical representa a reatância X (positiva se indutiva, negativa se capacitiva)
• A hipotenusa representa a impedância total |Z|

6.5 Lei de Ohm para Circuitos CA

A Lei de Ohm estendida para circuitos CA fica:

V˙=I˙Z˙

Ou em termos de módulos e fases:

V=I|Z|

V=I+Z

6.6 Exemplos com Impedância

Exemplo 5: Um circuito série contém R = 30 Ω, X_L = 40 Ω. Calcule a impedância total.

Resolução:

|Z|=R2+XL2=302+402=900+1600=2500=50 Ω

=arctan⁡4030=arctan⁡(1,33)53,1°

Impedância: Z = 50 ∠ 53,1° Ω (ou 30 + j40 Ω na forma retangular)

---

Exemplo 6: Um circuito série contém R = 20 Ω, X_C = 15 Ω. Calcule a impedância total.

Resolução:

|Z|=R2+XC2=202+(−15)2=400+225=625=25 Ω

=arctan⁡−1520=arctan⁡(−0,75)−36,9°

Impedância: Z = 25 ∠ -36,9° Ω (ou 20 – j15 Ω na forma retangular)

7. Circuitos RL (Resistor-Indutor)

7.1 Circuito RL em Série

Um circuito RL série contém um resistor e um indutor conectados em série[2].

Impedância total:

Z˙RL=R+jXL=R+j2fL

Módulo:

|ZRL|=R2+XL2

Ângulo de fase:

=arctan⁡XLR

Como X_L é positivo, o ângulo é positivo (corrente atrasada em relação à tensão)[2].

7.2 Análise de Circuito RL Série

Exemplo 7: Um circuito RL série tem R = 50 Ω, L = 80 mH, alimentado com V = 120 V RMS a 60 Hz.

a) Calcule a reatância indutiva
b) Calcule a impedância total
c) Calcule a corrente
d) Calcule a tensão em cada componente

Resolução:

a) Reatância indutiva:

XL=2600,08=30,16 Ω

b) Impedância total:

|Z|=502+30,162=2500+91058,6 Ω

=arctan⁡30,165031,3°

c) Corrente:

I=V|Z|=12058,62,05 A

d) Tensões:

VR=IR=2,0550102,5 V

VL=IXL=2,0530,1661,8 V

Note que V_R + V_L ≠ V em termos de magnitudes, mas em forma vetorial: V˙=V˙R+V˙L=120 V

8. Circuitos RC (Resistor-Capacitor)

8.1 Circuito RC em Série

Um circuito RC série contém um resistor e um capacitor conectados em série[1].

Impedância total:

Z˙RC=R−jXC=R−j12fC

Módulo:

|ZRC|=R2+XC2

Ângulo de fase:

=arctan⁡−XCR=−arctan⁡XCR

Como X_C é negativo na impedância, o ângulo é negativo (corrente adiantada em relação à tensão)[1].

8.2 Análise de Circuito RC Série

Exemplo 8: Um circuito RC série tem R = 40 Ω, C = 50 μF, alimentado com V = 120 V RMS a 60 Hz.

a) Calcule a reatância capacitiva
b) Calcule a impedância total
c) Calcule a corrente
d) Calcule a tensão em cada componente

Resolução:

a) Reatância capacitiva:

XC=12605010−6=10,0188553,05 Ω

b) Impedância total:

|Z|=402+53,052=1600+281465,9 Ω

=arctan⁡−53,0540−53,2°

c) Corrente:

I=V|Z|=12065,91,82 A

d) Tensões:

VR=IR=1,824072,8 V

VC=IXC=1,8253,0596,5 V

9. Circuitos RLC (Resistor-Indutor-Capacitor)

9.1 Circuito RLC em Série

Um circuito RLC série contém resistor, indutor e capacitor conectados em série. Este é o circuito mais completo e importante em análise CA[1][2].

Impedância total:

Z˙RLC=R+j(XL−XC)=R+j2fL−12fC

Módulo:

|ZRLC|=R2+(XL−XC)2

Ângulo de fase:

=arctan⁡XL−XCR

9.2 Caso Especial: Ressonância

A ressonância ocorre quando X_L = X_C, ou seja, quando[1]:

2fL=12fC

Resolvendo para a frequência de ressonância:

f0=12LC

Na ressonância:

• A impedância é mínima: |Z| = R
• A corrente é máxima: I_max = V/R
• O ângulo de fase é zero: φ = 0° (corrente em fase com tensão)
• A reatância total é nula: X = 0[1]

9.3 Exemplo de Circuito RLC

Exemplo 9: Um circuito RLC série tem R = 10 Ω, L = 50 mH, C = 100 μF, alimentado com V = 100 V RMS a 50 Hz.

a) Calcule X_L e X_C
b) Calcule a impedância total
c) Calcule a corrente
d) Qual seria a frequência de ressonância?

Resolução:

a) Reatâncias:

XL=2500,05=15,7 Ω

XC=125010010−6=10,031431,83 Ω

b) Impedância total:

X=XL−XC=15,7−31,83=−16,13 Ω

|Z|=102+(−16,13)2=100+26019 Ω

=arctan⁡−16,1310−58,3°

c) Corrente:

I=V|Z|=100195,26 A

d) Frequência de ressonância:

f0=120,0510010−6=12510−6=120,0022471 Hz

10. Potência em Circuitos CA

10.1 Potência Aparente

A potência aparente é o produto da tensão e corrente (em módulo)[1]:

S=VI

Unidade: Volt-ampère (VA) ou kVA

10.2 Potência Ativa (Real)

A potência ativa (ou real) é a potência que realmente realiza trabalho útil[1]:

P=VIcos⁡()=I2R

Onde cos(φ) é o fator de potência.

Unidade: Watt (W) ou kW

10.3 Potência Reativa

A potência reativa é a potência associada à reatância, que não realiza trabalho útil[1]:

Q=VIsin⁡()=I2X

Unidade: Volt-ampère reativo (VAR) ou kVAR

10.4 Triângulo de Potência

As três potências estão relacionadas pelo triângulo de potência:

S2=P2+Q2

De forma similar ao triângulo de impedância[1].

10.5 Fator de Potência

O fator de potência é a razão entre potência ativa e aparente:

FP=cos⁡()=PS

Um fator de potência próximo a 1 significa que a maioria da potência é útil. Um fator baixo indica que muita potência é reativa[1].

10.6 Exemplo de Cálculo de Potência

Exemplo 10: Em um circuito CA, V = 100 V, I = 5 A, φ = 30°.

a) Calcule a potência aparente
b) Calcule a potência ativa
c) Calcule a potência reativa
d) Calcule o fator de potência

Resolução:

a) Potência aparente:

S=1005=500 VA

b) Potência ativa:

P=500cos⁡(30°)=5000,866=433 W

c) Potência reativa:

Q=500sin⁡(30°)=5000,5=250 VAR

d) Fator de potência:

FP=cos⁡(30°)=0,866 (ou 86,6%)

11. Tabela Resumida de Fórmulas

Conceito	Fórmula
Valor RMS	VRMS=Vpico2
Período	T=1f
Reatância Capacitiva	XC=12fC
Reatância Indutiva	XL=2fL
Impedância (retangular)	Z˙=R+jX
Impedância (módulo)	|Z|=R2+X2
Ângulo de Fase	=arctan⁡XR
Lei de Ohm CA	V˙=I˙Z˙
Frequência de Ressonância	f0=12LC
Potência Aparente	S=VI
Potência Ativa	P=VIcos⁡()
Potência Reativa	Q=VIsin⁡()
Fator de Potência	FP=cos⁡()=PS

Table 1: Resumo de fórmulas fundamentais de circuitos CA

12. Exercícios Propostos

Exercício 1: Reatância Capacitiva

Um capacitor de 25 μF é submetido a uma frequência de 60 Hz. Calcule a reatância capacitiva.

Exercício 2: Reatância Indutiva

Uma bobina com indutância de 200 mH é submetida a uma frequência de 50 Hz. Calcule a reatância indutiva.

Exercício 3: Impedância RL

Um circuito RL série tem R = 60 Ω e X_L = 80 Ω. Calcule:
a) A impedância total
b) O ângulo de fase

Exercício 4: Impedância RC

Um circuito RC série tem R = 30 Ω e X_C = 40 Ω. Calcule:
a) A impedância total
b) O ângulo de fase

Exercício 5: Circuito RL com Fonte

Um circuito RL série tem R = 40 Ω, L = 100 mH, com fonte de 120 V RMS a 60 Hz. Calcule:
a) A reatância indutiva
b) A impedância total
c) A corrente
d) As tensões em cada componente

Exercício 6: Circuito RC com Fonte

Um circuito RC série tem R = 50 Ω, C = 30 μF, com fonte de 100 V RMS a 60 Hz. Calcule:
a) A reatância capacitiva
b) A impedância total
c) A corrente
d) As tensões em cada componente

Exercício 7: Ressonância RLC

Um circuito RLC série tem L = 50 mH e C = 50 μF. Calcule a frequência de ressonância.

Exercício 8: Circuito RLC Completo

Um circuito RLC série tem R = 20 Ω, L = 100 mH, C = 50 μF, com fonte de 150 V RMS a 60 Hz. Calcule:
a) As reatâncias
b) A impedância total
c) A corrente
d) As tensões em cada componente

Exercício 9: Potência em Circuito CA

Em um circuito CA, V = 200 V, I = 8 A, φ = 45°. Calcule:
a) Potência aparente
b) Potência ativa
c) Potência reativa
d) Fator de potência

Exercício 10: Comparação de Frequências

Um capacitor de 10 μF e um indutor de 50 mH são testados em 60 Hz e 1000 Hz. Para cada um, calcule as reatâncias nas duas frequências e compare os resultados.

13. Gabarito dos Exercícios

Exercício 1: Reatância Capacitiva

XC=12602510−6=10,00942106 Ω

Exercício 2: Reatância Indutiva

XL=2500,2=21062,8 Ω

Exercício 3: Impedância RL

a) |Z|=602+802=3600+6400=100 Ω

b) =arctan⁡8060=arctan⁡(1,33)53,1°

Exercício 4: Impedância RC

a) |Z|=302+402=900+1600=50 Ω

b) =arctan⁡−4030=arctan⁡(−1,33)-53,1°

Exercício 5: Circuito RL com Fonte

a) XL=2600,1=37,7 Ω

b) |Z|=402+37,72=1600+142255,1 Ω

c) I=12055,12,18 A

d) VR=2,1840=87,2 V; VL=2,1837,7=82,2 V

Exercício 6: Circuito RC com Fonte

a) XC=12603010−688,4 Ω

b) |Z|=502+88,42=2500+7815101,6 Ω

c) I=100101,60,984 A

d) VR=0,98450=49,2 V; VC=0,98488,4=86,9 V

Exercício 7: Ressonância RLC

f0=120,055010−6=122,510−631,8 Hz

Exercício 8: Circuito RLC Completo

a) XL=37,7 Ω; XC=53,1 Ω

b) |Z|=202+(37,7−53,1)2=400+23425,1 Ω

c) I=15025,15,98 A

d) VR119,6 V; VL225,2 V; VC317,3 V

Exercício 9: Potência em Circuito CA

a) S=2008=1600 VA

b) P=1600cos⁡(45°)=16000,7071131 W

c) Q=1600sin⁡(45°)=16000,7071131 VAR

d) FP=cos⁡(45°)0,707 ou 70,7%

Exercício 10: Comparação de Frequências

Capacitor 10 μF:

• A 60 Hz: XC265 Ω
• A 1000 Hz: XC1,59 Ω
• A reatância diminui dramaticamente com o aumento da frequência

Indutor 50 mH:

• A 60 Hz: XL18,8 Ω
• A 1000 Hz: XL314 Ω
• A reatância aumenta dramaticamente com o aumento da frequência

Conclusão

A compreensão da teoria de circuitos CA é essencial para qualquer profissional que trabalhe com eletrônica, engenharia elétrica ou telecomunicações. Os conceitos de impedância, reatância capacitiva, reatância indutiva e capacitância formam a base teórica para análise de circuitos em corrente alternada.

O comportamento fundamentalmente diferente de capacitores e indutores em CA em relação a CC, causado pela resposta destes componentes a frequências variáveis, é crucial para compreender filtros, ressonância, e o funcionamento de circuitos práticos em radioamadorismo e eletrônica.

A prática constante com os exercícios propostos consolidará sua compreensão destes conceitos complexos, preparando você para análises de circuitos ainda mais sofisticadas.

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Referências

[1] MakerHero. Circuitos de Corrente Alternada. Disponível em: https://www.makerhero.com/guia/eletricidade/

[2] Brasil Escola. Circuitos CA: Impedância e Reatância. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/

[3] Khan Academy. Corrente Alternada e Impedância. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/science/electrical-engineering

[4] Toda Matéria. Circuitos de Corrente Alternada. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/

[5] Newton CBraga. Eletrotécnica Básica. Disponível em: https://www.newtoncbraga.com.br/

[6] Profissão Eletrônica. Análise de Circuitos CA. Disponível em: https://www.profissaoeletronica.com.br/

[7] Wikipedia. Impedância Elétrica. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Impedância_elétrica

[8] Wikipedia. Circuito RLC. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_RLC